Blogsofo: Paradoja de Gibbs

Cuando se mezclan 2 gases en un volumen definido a la misma presion y temperatura, deberia hacer que la entropia aumente. Es el resultado de la suma de 2 entriopias. Gibbs presento una paradoja cuando se mezclaban 2 gases. Si los gases son los mismos no se calcularia la entripia extra por que no hay mezcla en si son el mismo gas.

Aqui una explicacion matematica:

Podemos escribir la entropía en notación más compacta como

$\displaystyle S = N s_o + Nk \ln\left(V u^{3/2}\right) \;,$

donde

$\displaystyle s_o = \frac32 k \left( 1+ \ln \frac{4\pi m}{3h^2}\right) \;, \qquad \qquad u = \frac32 kT \;.$

Esta expresión es muy similar a la que habíamos obtenido al desarrollar la teoría termodinámica. Analicemos el caso en que un recipiente contiene dos gases diferentes a temperatura separados por una pared diatérmica, de modo que en un compartimiento hay moléculas en un volumen , mientras que en el otro hay moléculas en un volumen (). Al remover la pared divisoria, como no cambea, tampoco cambea, de modo que al mezclar habrá un aumento de entropía dado por

0 \;. $">

Cuando los gases son diferentes, esta expresión provee una adecuada predicción. Sin embargo, si los gases son idénticos, aun cuando el sistema sea homogéneo antes de remover la pared divisoria, esta expresión señala que habrá un aumento en la entropía del sistema. Por supuesto, este resultado es absurdo, y para resolver este problema Gibbs introdujo una modificación en la constante para el caso de partículas indistinguibles, agregándole un factor , es decir $C^N=h^{3N}N!\;$ De este modo, utilizando la aproximación de Stirling la expresión para la entropía resulta

$\displaystyle \fbox{ $\displaystyle S = \frac32 Nk\left(\frac53 + \ln\fr... ...ht) + Nk \ln\left(\frac VN u^{3/2}\right) \rule[-1.75em]{0em}{4em} $ }$

la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Por lo tanto se sugiere que las partículas son indistinguibles, existen permutaciones que proveen el mismo estado, aunque está claro que dentro de la teoría clásica todas las partículas son distinguibles. La verdadera respuesta es en realidad provista por la cuántica, en el marco de la llamada ``segunda cuantización'': como veremos más adelante, para describir partículas idénticas, las funciones de onda conjuntas deben ser simétricas o antisimétricas ante permutaciones de partículas, y cuando las condiciones indican que la descripción debe coincidir con el enfoque clásico, se vé que entonces ambas formulaciones concuerdan gracias a este denominador .